Trip in the Mandelbrot Set

Aux Bermudes j’ai eu accès à un des premiers IBM PC (8086) puis j’ai fait l’acquisition d’un ordinateur personnel super puissant pour l’époque, un Commodore Amiga. Avec ces ordinateurs j’ai enfin pu vraiment explorer le « Mandelbrot Set »…

Trip in the Mandelbrot Set – 1987 – Infographie

L’ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l’ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite définie par récurrence par :

$ begin{cases} Z_0 = 0\ Z_{n+1} = Z_n^2 + c end{cases} $

ne tend pas vers l’infini (en module).

Si nous reformulons cela sans utiliser les nombres complexes, en remplaçant z_n par le couple de réels (x_n, y_n) et c par le couple (a, b), alors nous obtenons :

$ begin{cases} x_0 = y_0 = 0\ x_{n+1} = x_n^2-y_n^2+a\ y_{n+1} = 2x_ny_n+b end{cases} $

la condition devenant que ni x_n, ni y_n ne tendent vers l’infini (en valeur absolue).

En language BASIC de l’époque cela donne :

PRINT : PRINT « Real origin   « ;RO;FNB$(RO); : INPUT IN$ : IF IN$<> » » THEN RO=VAL(IN$)

PRINT : PRINT « Imaginary origin   « ;IO;FNB$(IO); : INPUT IN$ : IF IN$<> » » THEN IO=VAL(IN$)

PRINT : PRINT « Size of the complex plane explored   « ;SC;FNB$(SC); : INPUT IN$ : IF IN$<> » » THEN SC=VAL(IN$)

PRINT : PRINT « Number of iterations   « ;NI%+1;FNB$(NI%); : INPUT IN$ : IF IN$<> » » THEN NI%=VAL(IN$)-1

…

IF DP THEN IF MO=1 THEN PRINT : PRINT »Row Col Z Iterations

FOR R%=1 TO SW% : FOR I%=1 TO SW%

REM————– Search Complex Number Z ————-

RC=R%*SP+RO : IC=I%*SP+IO : RZ=0 : IZ=0 : ZZ%=0

TZ=RZ : RZ=RZ*RZ-IZ*IZ+RC : IZ=2*TZ*IZ+IC : ZZ%=ZZ%+1 : DZ=SQR(RZ*RZ+IZ*IZ)

IF (DZ>2) OR (ZZ%>NI%) GOTO 1000 ELSE GOTO 970

REM————– Store zz%, Find min, max, average, « distances » —–

PP%(R%,I%)=ZZ%

IF ZZ%<MI% THEN MI%=ZZ%

IF ZZ%<NI% THEN AV=AV+ZZ% : PO%=PO%+1 : IF ZZ%>MA% THEN MA%=ZZ%

IF MO<>1 GOTO 1080

IF DP<>1 GOTO 1080

IF ZZ%>NI% THEN COLOR 23,0 : ZZ%=20 : GOTO 1070

IF ZZ%<14 THEN COLOR ZZ%,0 ELSE COLOR 15,0

PRINT R%;I%;DZ ; : LOCATE CSRLIN,30 : PRINT STRING$(ZZ%,219)

NEXT I%,R%

IF PO%>0 THEN AV=AV/PO%

IF CS=1 THEN SN=MI% : MN=AV : LN=MA%

IF CS=2 THEN SN=MI%+(AV-MI%)*2/3 : MN=AV+(MA%-AV)/3 : LN=MA%

IF CS=3 THEN SN=AV : MN=AV+(MA%-AV)/2 : LN=MA%

Pour consulter le programme complet (en BASIC PC 1985), téléchargez ce fichier : MANDSET.TXT

Vase sacré – 1987 – Infographie

Et pour finir je vous propose un zoom vertigineux dans l’ensemble de Mandelbrot réalisé de nos jours. Si un IBM PC 8086 devait calculer cette image en BASIC, cela prendrait des années…